Cách Tính Và Tìm Ma Trận Nghịch Đảo 2x2, 3x3, 4x4 Chính Xác

Ma trận nghịch đảo là một loại ma trận đặc biệt được sử dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan. Nó được tính toán từ ma trận ban đầu và có thể được sử dụng để giải phương trình của hệ ma trận hoặc để tính số đọc của ma trận gốc. Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu ma trận nghịch đảo là gì? Công thức tìm ma trận nghịch đảo ? Bài tập thực hành tiểu mục đại số mới nhất dưới đây.

Mục Lục Bài Viết

Ma trận nghịch đảo là gì?

Ma trận nghịch đảo là gì? : Cho ma trận vuông A cấp n. Ta nói ma trận A khả nghịch nếu tồn tại ma trận B sao cho AB = BA = En. Khi đó B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A-1.

Ma trận không có dấu phân số nên bạn phải sử dụng ma trận nghịch đảo để đơn giản hóa phép toán phức tạp này. Có hai cách để tính ma trận nghịch đảo : thực hiện phép tính thủ công và sử dụng máy tính để làm cho kết quả chính xác hơn.

Tính chất của ma trận nghịch đảo

Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông bậc n A khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch của vành V.

Nếu A là ma trận trên trường F thì A khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.

Ma trận nhận dạng là ma trận khả nghịch.

Nếu A và B là ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và (AB)-1 = B-1A-1

Tập hợp các ma trận vuông bậc n trên K là khả nghịch, ký hiệu GLn(K).

Cách tính ma trận nghịch đảo

Dưới đây là hướng dẫn cách tính ma trận nghịch đảo cuối cùng, mời các bạn tham khảo

Ma trận nghịch đảo 2×2

Cách tính ma trận nghịch đảo 2×2 bằng phương pháp ma trận liên hợp (loại bỏ Gauss-Jordan) như sau:

Ví dụ:

Ma trận nghịch đảo 3×3

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách tạo ma trận bổ sung:

Bước 1: Kiểm tra định thức của ma trận, ký hiệu là det(A).
Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo A-1. Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận A-1, chuyển sang bước 2
Bước 2: Chuyển vị ma trận gốc nghĩa là hoán đổi vị trí phần tử (i, j) và vị trí phần tử (j, i) với nhau.
Bước 3: Tìm định thức của mỗi ma trận con 2×2 tương ứng với ma trận chuyển vị 3×3 mới.
Bước 4: Tạo ma trận các phần đại số, ký hiệu là Adj(M).
Bước 5: Thực hiện phép chia tất cả các phần tử của ma trận bù với định thức của ma trận là det(M).

Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng phương pháp rút gọn tuyến tính

Bước 1: Cộng ma trận đơn vị vào ma trận gốc
Bước 2: Thực hiện rút gọn hàng tuyến tính và thực hiện cho đến khi hình thành ma trận đơn vị
Bước 3: Viết lại ma trận nghịch đảo cho đúng

Ma trận nghịch đảo 4×4

a) Đối với ma trận 4×4, phương pháp tính được áp dụng phổ biến nhất là phương pháp sử dụng các phép biến đổi cơ bản

Như sau:

Nếu det(A)≠0, ta tính A-1 bằng cách rút gọn ma trận -> < In: A-1> trong đó I là ma trận đơn vị.

b) Sử dụng định lý Haminton-Cayley

+ Đa thức đặc trưng của ma trận Anxn= là: f(x) = det(xI – A)

Tổng quát: Tính đa thức đặc trưng của ma trận A, f(x), sử dụng công thức Bocher như sau:

Đặt Sp= tr(Ap) với tr(Ap) = tổng các phần tử trên đường chéo chính của Ap

Trương hợp đ̣ăc biệt

c) Định lý Cayley-Hamilton

Nếu f(x) là đa thức đặc trưng của ma trận vuông A thì f(A)=0

Giả sử một A khả nghịch (det(A)≠0) có đa thức đặc trưng f(x)= xn + a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an thì An + a1An-1 + a2An- 2 +… + an-1A + an= O và an=(-1)n det(A) ≠0, ta nhân cả hai vế với A-1 để thu được: